Paraabelin $$$y^{2} = - 3 x$$$ ominaisuudet

Määritä paraabelin $$$y^{2} = - 3 x$$$ kärkipiste, polttopiste, johtosuora, symmetria-akseli, latus rectum, latus rectumin pituus (fokaalileveys), fokaaliparametri, polttoväli, eksentrisyys, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Paraabelin yhtälö on $$$x = \frac{1}{4 \left(f - h\right)} \left(y - k\right)^{2} + h$$$, jossa $$$\left(h, k\right)$$$ on huippu ja $$$\left(f, k\right)$$$ on polttopiste.

Tässä muodossa paraabelimme on $$$x = \frac{1}{4 \left(- \frac{3}{4} - 0\right)} \left(y - 0\right)^{2} + 0$$$.

Siis, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$f = - \frac{3}{4}$$$.

Standardimuoto on $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$.

Yleinen muoto on $$$3 x + y^{2} = 0$$$.

Huippumuoto on $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$.

Johtosuora on $$$x = d$$$.

Löytääksesi $$$d$$$, käytä sitä, että polttopisteen ja kärjen välinen etäisyys on sama kuin kärjen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$0 - \left(- \frac{3}{4}\right) = d - 0$$$.

Siis johtosuora on $$$x = \frac{3}{4}$$$.

Symmetria-akseli on suora, joka on kohtisuorassa direktriksiin nähden ja kulkee kärjen ja polttopisteen kautta: $$$y = 0$$$.

Polttoväli on polttopisteen ja kärkipisteen välinen etäisyys: $$$\frac{3}{4}$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{3}{2}$$$.

Johtojänne on johtosuoran suuntainen ja kulkee polttopisteen kautta: $$$x = - \frac{3}{4}$$$.

Latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmä $$$\begin{cases} 3 x + y^{2} = 0 \\ x = - \frac{3}{4} \end{cases}$$$ (vaiheista ks. yhtälöryhmän laskin).

Latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \frac{3}{4}, - \frac{3}{2}\right)$$$, $$$\left(- \frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$$$.

Latus rectumin (fokaalileveyden) pituus on neljä kertaa niin suuri kuin huipun ja polttopisteen välinen etäisyys: $$$3$$$.

Paraabelin eksentrisyys on aina $$$1$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

x-akselin leikkauspiste: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

y-akselin leikkauspiste: $$$\left(0, 0\right)$$$.

Standardimuoto/yhtälö: $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$3 x + y^{2} = 0$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$A.

Polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$y^{2} + \left(x + \frac{3}{4}\right)^{2} = \left(x - \frac{3}{4}\right)^{2}$$$A.

Akselien leikkausmuoto/yhtälö: $$$x = - \frac{y^{2}}{3}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Huippu: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Polttopiste: $$$\left(- \frac{3}{4}, 0\right) = \left(-0.75, 0\right)$$$A.

Johtosuora: $$$x = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.

Symmetria-akseli: $$$y = 0$$$A.

Parametrijänne: $$$x = - \frac{3}{4} = -0.75$$$A.

Polttojanan päätepisteet: $$$\left(- \frac{3}{4}, - \frac{3}{2}\right) = \left(-0.75, -1.5\right)$$$, $$$\left(- \frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right) = \left(-0.75, 1.5\right)$$$A.

Latus rectumin pituus (fokaalileveys): $$$3$$$A.

Fokaaliparametri: $$$\frac{3}{2} = 1.5$$$A.

Polttoväli: $$$\frac{3}{4} = 0.75$$$A.

Eksentrisyys: $$$1$$$A.

x-akselin leikkauspiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

y-akselin leikkauspiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Määrittelyjoukko: $$$\left(-\infty, 0\right]$$$A.

Arvojoukko: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.