Ellipsin $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$ ominaisuudet

Määritä ellipsin $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$ keskipiste, polttopisteet, kärkipisteet, sivukärjet, pääakselin pituus, ison puoliakselin pituus, sivuakselin pituus, pienen puoliakselin pituus, pinta-ala, ympärysmitta, polttojänteet, polttojänteen pituus (fokaalileveys), polttoparametri, eksentrisyys, lineaarinen eksentrisyys (polttopiste-etäisyys), johtosuorat, x-akselin leikkauspisteet, y-akselin leikkauspisteet, määrittelyjoukko ja arvojoukko.

Ellipsin yhtälö on $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, jossa $$$\left(h, k\right)$$$ on keskipiste ja $$$b$$$ ja $$$a$$$ ovat puolisuuren ja puolipienen akselin pituudet.

Ellipsimme tässä muodossa on $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$.

Siis, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$.

Standardimuoto on $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$.

Huippumuoto on $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$.

Yleinen muoto on $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$.

Lineaarinen eksentrisyys (polttopisteen etäisyys) on $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$.

Eksentrisyys on $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$.

Ensimmäinen polttopiste on $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$.

Toinen polttopiste on $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$.

Ensimmäinen kärkipiste on $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$.

Toinen kärkipiste on $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$.

Ensimmäinen apukärkipiste on $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$.

Toinen apukärki on $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$.

Suuren akselin pituus on $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$.

Pieniakselin pituus on $$$2 a = 4$$$.

Pinta-ala on $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$.

Ympärysmitta on $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$.

Fokaaliparametri on polttopisteen ja johtosuoran välinen etäisyys: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.

Latera recta ovat sivuakselin suuntaiset suorat, jotka kulkevat polttopisteiden kautta.

Ensimmäinen suoramitta on $$$y = -1$$$.

Toinen latus rectum on $$$y = 1$$$.

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla yhtälöryhmän $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ (vaiheet: katso system of equations calculator).

Ensimmäisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$.

Toisen johtojänteen päätepisteet voidaan löytää ratkaisemalla järjestelmä $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ (vaiheista, katso yhtälöryhmälaskin).

Toisen latus rectumin päätepisteet ovat $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$.

Latera recta -jänteiden pituus (fokaalileveys) on $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$.

Ensimmäinen johtosuora on $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$.

Toinen johtosuora on $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$.

x-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$y = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$x$$$:n suhteen (vaiheet: katso leikkauspisteiden laskin).

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$

Y-akselin leikkauspisteet voidaan löytää asettamalla $$$x = 0$$$ yhtälöön ja ratkaisemalla $$$y$$$:n suhteen: (vaiheittaiset ohjeet, ks. leikkauspisteiden laskin).

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$

Määrittelyjoukko on $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$.

Arvojoukko on $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$.

Standardimuoto/yhtälö: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.

Huippumuoto/yhtälö: $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A.

Yleinen muoto/yhtälö: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.

Ensimmäinen polttopiste-johtosuoraesitys/yhtälö: $$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Toinen polttopiste-johtosuora-muoto/yhtälö: $$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A.

Kuvaaja: katso graphing calculator.

Keskipiste: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Ensimmäinen polttopiste: $$$\left(0, -1\right)$$$A.

Toinen polttopiste: $$$\left(0, 1\right)$$$A.

Ensimmäinen kärkipiste: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A.

Toinen kärkipiste: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Ensimmäinen sivukärkipiste: $$$\left(-2, 0\right)$$$A.

Toinen sivukärkipiste: $$$\left(2, 0\right)$$$A.

Pääakselin pituus: $$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A.

Puolisuuren akselin pituus: $$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A.

Pieniakselin pituus: $$$4$$$A.

Pienen puoliakselin pituus: $$$2$$$A.

Pinta-ala: $$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A.

Ympärysmitta: $$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A.

Ensimmäinen latus rectum: $$$y = -1$$$A.

Toinen latus rectum: $$$y = 1$$$A.

Ensimmäisen johtojänteen päätepisteet: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A.

Toisen polttojanan päätepisteet: $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A.

Latera recta -pituus (fokaalileveys): $$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A.

Fokaaliparametri: $$$4$$$A.

Eksentrisyys: $$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A.

Lineaarinen eksentrisyys (fokaalietäisyys): $$$1$$$A.

Ensimmäinen johtosuora: $$$y = -5$$$A.

Toinen johtosuora: $$$y = 5$$$A.

x-akselin leikkauspisteet: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A.

y-akselin leikkauspisteet: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.

Määrittelyjoukko: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.

Arvojoukko: $$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A.