Derivada de $$$\sqrt{1 - x}$$$

La función $$$\sqrt{1 - x}$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ y $$$g{\left(x \right)} = 1 - x$$$.

Aplica la regla de la cadena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)}$$

Aplica la regla de la potencia $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ con $$$n = \frac{1}{2}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right)$$

Volver a la variable original:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(1 - x\right)}}}$$

La derivada de una suma/diferencia es la suma/diferencia de las derivadas:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x}}$$

Aplica la regla de la potencia $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, en otras palabras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{1 - x}} = \frac{- {\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{1 - x}}$$

La derivada de una constante es $$$0$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - 1}{2 \sqrt{1 - x}} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} - 1}{2 \sqrt{1 - x}}$$

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x}\right) = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$$$.