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Calculadora de diferenciación logarítmica

Calcula derivadas paso a paso usando logaritmos

La calculadora en línea calculará la derivada de cualquier función mediante la diferenciación logarítmica, mostrando los pasos. Además, evaluará la derivada en el punto dado si es necesario.

Calculadora relacionada: Calculadora de derivadas

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Tu entrada

Halla $$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.

Solución

Sea $$$H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}$$$.

Toma el logaritmo en ambos lados: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$$$.

Reescribe el miembro derecho usando las propiedades de los logaritmos: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}$$$.

Deriva ambos lados de la ecuación por separado: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)$$$.

Deriva el miembro izquierdo de la ecuación.

La función $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ y $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.

Aplica la regla de la cadena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$

La derivada del logaritmo natural es $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$

Volver a la variable original:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.

Deriva el miembro derecho de la ecuación.

Aplica la regla del producto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ y $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$

La derivada del logaritmo natural es $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:

$$\ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$

La derivada del seno es $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:

$$\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.

Por lo tanto, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$.

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).$$$

Respuesta

$$$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)$$$A


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Nota relacionada: Logarithmic Differentiation