Derivada de $$$e^{x} + \sin{\left(y z \right)}$$$ con respecto a $$$z$$$
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Tu aportación
Encuentra $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)$$$.
Solución
La derivada de una suma/diferencia es la suma/diferencia de derivadas:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x}\right) + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)}$$La derivada de una constante es $$$0$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x}\right)\right)} + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right) = {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)$$La función $$$\sin{\left(y z \right)}$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ y $$$g{\left(z \right)} = y z$$$.
Aplicar la regla de la cadena $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(y z\right)\right)}$$La derivada del seno es $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right)$$Vuelva a la variable anterior:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right) = \cos{\left({\color{red}\left(y z\right)} \right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right)$$Aplique la regla del múltiplo constante $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ con $$$c = y$$$ y $$$f{\left(z \right)} = z$$$:
$$\cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(y z\right)\right)} = \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Aplique la regla de potencia $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, en otras palabras, $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$y \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = y \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Por lo tanto, $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = y \cos{\left(y z \right)}$$$.
Respuesta
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = y \cos{\left(y z \right)}$$$A