Ολοκλήρωμα του $$$\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{\sec{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Απλοποιήστε τον ολοκληρωτέο:

$${\color{red}{\int{\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}} d x}}}$$

Εκφράστε το ημίτονο χρησιμοποιώντας τον τύπο διπλής γωνίας $$$\sin\left(2 x\right)=2\sin\left(\frac{2 x}{2}\right)\cos\left(\frac{2 x}{2}\right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} d x}}}$$

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με $$$\sec^2\left(x \right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} d x}}}$$

Έστω $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$.

Τότε $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$.

Επομένως,

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}}\right| \right)}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(x \right)}}\right| \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{\sec{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(x \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sec{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = \ln\left(\left|{\tan{\left(x \right)}}\right|\right) + C$$$A