Ολοκλήρωμα του $$$\left(x - 3\right)^{5}$$$

Βρείτε $$$\int \left(x - 3\right)^{5}\, dx$$$.

Έστω $$$u=x - 3$$$.

Τότε $$$du=\left(x - 3\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$${\color{red}{\int{\left(x - 3\right)^{5} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{5} d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ με $$$n=5$$$:

$${\color{red}{\int{u^{5} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x - 3$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{6}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(x - 3\right)}}^{6}}{6}$$

Επομένως,

$$\int{\left(x - 3\right)^{5} d x} = \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\left(x - 3\right)^{5} d x} = \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}+C$$

$$$\int \left(x - 3\right)^{5}\, dx = \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6} + C$$$A