Integralen av $$$\left(x - 3\right)^{5}$$$

Bestäm $$$\int \left(x - 3\right)^{5}\, dx$$$.

Låt $$$u=x - 3$$$ vara.

Då $$$du=\left(x - 3\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (stegen kan ses »), och vi har att $$$dx = du$$$.

Alltså,

$${\color{red}{\int{\left(x - 3\right)^{5} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{5} d u}}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=5$$$:

$${\color{red}{\int{u^{5} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}={\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}$$

Kom ihåg att $$$u=x - 3$$$:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{6}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(x - 3\right)}}^{6}}{6}$$

Alltså,

$$\int{\left(x - 3\right)^{5} d x} = \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\left(x - 3\right)^{5} d x} = \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6}+C$$

$$$\int \left(x - 3\right)^{5}\, dx = \frac{\left(x - 3\right)^{6}}{6} + C$$$A