$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

Bestimme $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$.

Zuerst diagonalisieren Sie die Matrix (für die Schritte siehe Rechner zur Matrixdiagonalisierung).

Da die Matrix nicht diagonalisierbar ist, stellen Sie sie als Summe der Diagonalmatrix $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ und der nilpotenten Matrix $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$ dar.

Man beachte, dass $$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Dies bedeutet, dass $$$e^{N} = I + N$$$, d. h. $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Das Matrixexponential einer Diagonalmatrix ist eine Matrix, deren Diagonaleinträge exponentiert sind: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right].$$$

Nun, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Schließlich multiplizieren Sie die Matrizen:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe Matrixmultiplikationsrechner).

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A