Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right)$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right) = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 2$$$, $$$\lambda_{2} = -1$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 - i\\1 + i & -2\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = -1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$2$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$-1$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.