Nullraum von $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie den Nullraum von $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$.

Die reduzierte Zeilenstufenform der Matrix ist $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (für die Schritte siehe rref calculator).

Um den Nullraum zu bestimmen, lösen Sie die Matrixgleichung $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$

Wenn wir $$$x_{2} = t$$$ wählen, dann $$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$.

Somit gilt $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t.$$$

Dies ist der Nullraum.

Die Nullität einer Matrix ist die Dimension einer Basis des Nullraums.

Somit beträgt die Nullität der Matrix $$$1$$$.

Die Basis des Nullraums ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}.$$$A

Die Nullität der Matrix ist $$$1$$$A.