Rechner für den Winkel zwischen Vektoren
Berechne den Winkel zwischen Vektoren Schritt für Schritt
Der Rechner ermittelt den Winkel (in Bogenmaß und Grad) zwischen den beiden Vektoren und zeigt die Rechenschritte an.
Ihre Eingabe
Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren $$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle 5, -2, 3\right\rangle$$$ und $$$\mathbf{\vec{v}} = \left\langle -4, 5, 7\right\rangle$$$.
Lösung
Berechne zuerst das Skalarprodukt: $$$\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}} = -9$$$ (für die Schritte siehe Skalarprodukt-Rechner).
Bestimmen Sie als Nächstes die Beträge der Vektoren:
$$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{38}$$$ (für die Schritte siehe Vektorlängenrechner).
$$$\mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert} = 3 \sqrt{10}$$$ (für die Schritte siehe Vektorlängenrechner).
Schließlich ist der Winkel durch $$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} \mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert}} = \frac{-9}{\left(\sqrt{38}\right)\cdot \left(3 \sqrt{10}\right)} = - \frac{3 \sqrt{95}}{190}$$$ gegeben (bei komplexen Zahlen müssen wir den Realteil des Skalarprodukts nehmen).
$$$\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)} = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}}{\pi}\right)^{\circ}$$$
Antwort
Winkel im Bogenmaß: $$$\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}\approx 1.725307134097968$$$A.
Winkel in Grad: $$$\phi = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{3 \sqrt{95}}{190} \right)}}{\pi}\right)^{\circ}\approx 98.852817147625106^{\circ}.$$$A