Rechner für die Tangentialkomponente der Beschleunigung

Bestimmen Sie die Tangentialkomponente der Beschleunigung für $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$.

Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimme den Betrag von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$$$ (für die Schritte siehe Betragsrechner).

Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Berechne das Skalarprodukt: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$$$ (für die Schritte siehe Skalarprodukt-Rechner).

Schließlich ist die tangentiale Komponente der Beschleunigung $$$a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.$$$

Die Tangentialkomponente der Beschleunigung ist $$$a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$A.