Krümmungsrechner
Krümmung Schritt für Schritt berechnen
Der Rechner ermittelt die Krümmung der gegebenen expliziten, parametrischen oder vektorwertigen Funktion am angegebenen Punkt und zeigt die Rechenschritte an.
Ähnliche Rechner: Rechner für den Einheits-Binormalenvektor, Torsionsrechner
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die Krümmung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle$$$.
Lösung
Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).
Bestimme den Betrag von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10}$$$ (für die Schritte siehe Betragsrechner).
Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).
Berechnen Sie das Kreuzprodukt: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Kreuzprodukt-Rechner).
Bestimme den Betrag von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$ (für die Schritte siehe Betragsrechner).
Schließlich ist die Krümmung $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$
Antwort
Die Krümmung ist $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.