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Rechner für die Normalkomponente der Beschleunigung

Bestimme die Normalkomponente der Beschleunigung Schritt für Schritt

Der Rechner berechnet die Normalkomponente der Beschleunigung für das durch die vektorwertige Funktion beschriebene Objekt am gegebenen Punkt, mit Rechenschritten.

Ähnliche Rechner: Krümmungsrechner, Rechner für die Tangentialkomponente der Beschleunigung

$$$\langle$$$
,
,
$$$\rangle$$$
Leer lassen, wenn Sie die Normalenkomponente in einem bestimmten Punkt nicht benötigen.

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Ihre Eingabe

Bestimmen Sie die Normalkomponente der Beschleunigung für $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle$$$.

Lösung

Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Bestimme den Betrag von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10}$$$ (für die Schritte siehe Betragsrechner).

Bestimme die Ableitung von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Ableitungsrechner).

Berechnen Sie das Kreuzprodukt: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Kreuzprodukt-Rechner).

Bestimme den Betrag von $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$ (für die Schritte siehe Betragsrechner).

Schließlich ist die Normalkomponente der Beschleunigung $$$a_N\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{2 t^{2} + 5}}.$$$

Antwort

Die Normalkomponente der Beschleunigung ist $$$a_N\left(t\right) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{2 t^{2} + 5}}$$$A.