Rechner zur Approximation mit rechten Endpunkten einer Funktion

Nähern Sie das Integral $$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ mit $$$n = 4$$$ mithilfe der rechten Endpunktnäherung an.

Die rechte Riemannsumme (auch bekannt als rechte Endpunktnäherung) verwendet den rechten Endpunkt eines Teilintervalls, um die Höhe des Näherungsrechtecks zu berechnen:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

wobei $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Es gilt, dass $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 5$$$ und $$$n = 4$$$.

Daher $$$\Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1$$$.

Teilen Sie das Intervall $$$\left[1, 5\right]$$$ in $$$n = 4$$$ Teilintervalle der Länge $$$\Delta x = 1$$$ mit den folgenden Endpunkten: $$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4$$$, $$$5 = b$$$.

Nun berechne die Funktionswerte an den rechten Endpunkten der Teilintervalle.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(2 \right)} + 1}\approx 1.273431158532973$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(3 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(3 \right)} + 1}\approx 1.000027983813047$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(4 \right)} + 1}\approx 0.867027424870839$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(5 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(5 \right)} + 1}\approx 0.434954473370867$$$

Schließlich summieren Sie einfach die obigen Werte und multiplizieren das Ergebnis mit $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(1.273431158532973 + 1.000027983813047 + 0.867027424870839 + 0.434954473370867\right) = 3.575441040587726.$$$

$$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 3.575441040587726$$$A