Mittelpunktsregel-Rechner für eine Funktion

Approximieren Sie das Integral $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ mit $$$n = 4$$$ mittels der Mittelpunktsregel.

Die Mittelpunktsregel (auch als Mittelpunktsnäherung bekannt) verwendet den Mittelpunkt eines Teilintervalls, um die Höhe des Näherungsrechtecks zu berechnen:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$

wobei $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Es gilt, dass $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ und $$$n = 4$$$.

Daher $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.

Teilen Sie das Intervall $$$\left[1, 3\right]$$$ in $$$n = 4$$$ Teilintervalle der Länge $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ mit den folgenden Endpunkten: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.

Werte nun die Funktion an den Mittelpunkten der Teilintervalle aus.

$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$

$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$

$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$

$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$

Schließlich summieren Sie einfach die obigen Werte und multiplizieren das Ergebnis mit $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$

$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A