Integral von $$$x e^{- x}$$$

Bestimme $$$\int x e^{- x}\, dx$$$.

Für das Integral $$$\int{x e^{- x} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=x$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Das Integral wird zu

$${\color{red}{\int{x e^{- x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- x e^{- x} - \int{\left(- e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ an:

$$- x e^{- x} - {\color{red}{\int{\left(- e^{- x}\right)d x}}} = - x e^{- x} - {\color{red}{\left(- \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

Sei $$$u=- x$$$.

Dann $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$$- x e^{- x} + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - x e^{- x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$$- x e^{- x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - x e^{- x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- x e^{- x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - x e^{- x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- x$$$:

$$- x e^{- x} - e^{{\color{red}{u}}} = - x e^{- x} - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Daher,

$$\int{x e^{- x} d x} = - x e^{- x} - e^{- x}$$

Vereinfachen:

$$\int{x e^{- x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{- x}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{x e^{- x} d x} = \left(- x - 1\right) e^{- x}+C$$

$$$\int x e^{- x}\, dx = \left(- x - 1\right) e^{- x} + C$$$A