Integral von $$$\ln\left(x^{3}\right)$$$

Bestimme $$$\int 3 \ln\left(x\right)\, dx$$$.

Die Eingabe wird umgeschrieben: $$$\int{\ln{\left(x^{3} \right)} d x}=\int{3 \ln{\left(x \right)} d x}$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=3$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ an:

$${\color{red}{\int{3 \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Für das Integral $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (Rechenschritte siehe »).

Daher,

$$3 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=3 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=3 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, dx = c x$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$3 x \ln{\left(x \right)} - 3 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 3 x \ln{\left(x \right)} - 3 {\color{red}{x}}$$

Daher,

$$\int{3 \ln{\left(x \right)} d x} = 3 x \ln{\left(x \right)} - 3 x$$

Vereinfachen:

$$\int{3 \ln{\left(x \right)} d x} = 3 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{3 \ln{\left(x \right)} d x} = 3 x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 3 \ln\left(x\right)\, dx = 3 x \left(\ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A