Integral von $$$\ln\left(1 - x\right)$$$

Bestimme $$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx$$$.

Sei $$$u=1 - x$$$.

Dann $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - du$$$.

Daher,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(u \right)}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

Für das Integral $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$.

Seien $$$\operatorname{\mu}=\ln{\left(u \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=du$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{d\mu}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (Rechenschritte siehe »).

Somit,

$$- {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=- {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, du = c u$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$- u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = - u \ln{\left(u \right)} + {\color{red}{u}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=1 - x$$$:

$${\color{red}{u}} - {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = {\color{red}{\left(1 - x\right)}} - {\color{red}{\left(1 - x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(1 - x\right)}} \right)}$$

Daher,

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = - x - \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} + 1$$

Vereinfachen:

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\ln{\left(1 - x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \left(\ln{\left(1 - x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(1 - x\right)\, dx = \left(x - 1\right) \left(\ln\left(1 - x\right) - 1\right) + C$$$A