Integral von $$$e^{a x}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int e^{a x}\, dx$$$.

Sei $$$u=a x$$$.

Dann $$$du=\left(a x\right)^{\prime }dx = a dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = \frac{du}{a}$$$.

Daher,

$${\color{red}{\int{e^{a x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{a}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{a}}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{a} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{a}$$

Zur Erinnerung: $$$u=a x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{a} = \frac{e^{{\color{red}{a x}}}}{a}$$

Daher,

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}+C$$

$$$\int e^{a x}\, dx = \frac{e^{a x}}{a} + C$$$A