Integral von $$$e^{3 t}$$$

Bestimme $$$\int e^{3 t}\, dt$$$.

Sei $$$u=3 t$$$.

Dann $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dt = \frac{du}{3}$$$.

Also,

$${\color{red}{\int{e^{3 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{3}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{3}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{3}$$

Zur Erinnerung: $$$u=3 t$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{3} = \frac{e^{{\color{red}{\left(3 t\right)}}}}{3}$$

Daher,

$$\int{e^{3 t} d t} = \frac{e^{3 t}}{3}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{3 t} d t} = \frac{e^{3 t}}{3}+C$$

$$$\int e^{3 t}\, dt = \frac{e^{3 t}}{3} + C$$$A