Integral von $$$e^{- \frac{x}{2}}$$$

Bestimme $$$\int e^{- \frac{x}{2}}\, dx$$$.

Sei $$$u=- \frac{x}{2}$$$.

Dann $$$du=\left(- \frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{2}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - 2 du$$$.

Somit,

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-2$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- \frac{x}{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{2}\right)}}}$$

Daher,

$$\int{e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 2 e^{- \frac{x}{2}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 2 e^{- \frac{x}{2}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{2}}\, dx = - 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$$$A