Integral von $$$e^{- x}$$$

Bestimme $$$\int e^{- x}\, dx$$$.

Sei $$$u=- x$$$.

Dann $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-1$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- x$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Daher,

$$\int{e^{- x} d x} = - e^{- x}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- x} d x} = - e^{- x}+C$$

$$$\int e^{- x}\, dx = - e^{- x} + C$$$A