Integral von $$$45 e^{- \frac{t}{20}}$$$

Bestimme $$$\int 45 e^{- \frac{t}{20}}\, dt$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ mit $$$c=45$$$ und $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{t}{20}}$$$ an:

$${\color{red}{\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t}}} = {\color{red}{\left(45 \int{e^{- \frac{t}{20}} d t}\right)}}$$

Sei $$$u=- \frac{t}{20}$$$.

Dann $$$du=\left(- \frac{t}{20}\right)^{\prime }dt = - \frac{dt}{20}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dt = - 20 du$$$.

Also,

$$45 {\color{red}{\int{e^{- \frac{t}{20}} d t}}} = 45 {\color{red}{\int{\left(- 20 e^{u}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-20$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$$45 {\color{red}{\int{\left(- 20 e^{u}\right)d u}}} = 45 {\color{red}{\left(- 20 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 900 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 900 {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- \frac{t}{20}$$$:

$$- 900 e^{{\color{red}{u}}} = - 900 e^{{\color{red}{\left(- \frac{t}{20}\right)}}}$$

Daher,

$$\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t} = - 900 e^{- \frac{t}{20}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{45 e^{- \frac{t}{20}} d t} = - 900 e^{- \frac{t}{20}}+C$$

$$$\int 45 e^{- \frac{t}{20}}\, dt = - 900 e^{- \frac{t}{20}} + C$$$A