Integral von $$$37000 e^{- \frac{9 t}{100}}$$$

Bestimme $$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ mit $$$c=37000$$$ und $$$f{\left(t \right)} = e^{- \frac{9 t}{100}}$$$ an:

$${\color{red}{\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = {\color{red}{\left(37000 \int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}\right)}}$$

Sei $$$u=- \frac{9 t}{100}$$$.

Dann $$$du=\left(- \frac{9 t}{100}\right)^{\prime }dt = - \frac{9 dt}{100}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dt = - \frac{100 du}{9}$$$.

Das Integral wird zu

$$37000 {\color{red}{\int{e^{- \frac{9 t}{100}} d t}}} = 37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=- \frac{100}{9}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$$37000 {\color{red}{\int{\left(- \frac{100 e^{u}}{9}\right)d u}}} = 37000 {\color{red}{\left(- \frac{100 \int{e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{3700000 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = - \frac{3700000 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- \frac{9 t}{100}$$$:

$$- \frac{3700000 e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{3700000 e^{{\color{red}{\left(- \frac{9 t}{100}\right)}}}}{9}$$

Daher,

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{37000 e^{- \frac{9 t}{100}} d t} = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9}+C$$

$$$\int 37000 e^{- \frac{9 t}{100}}\, dt = - \frac{3700000 e^{- \frac{9 t}{100}}}{9} + C$$$A