Integral von $$$x \ln\left(x^{3}\right)$$$

Bestimme $$$\int 3 x \ln\left(x\right)\, dx$$$.

Die Eingabe wird umgeschrieben: $$$\int{x \ln{\left(x^{3} \right)} d x}=\int{3 x \ln{\left(x \right)} d x}$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=3$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x \ln{\left(x \right)}$$$ an:

$${\color{red}{\int{3 x \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{x \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Für das Integral $$$\int{x \ln{\left(x \right)} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=x dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{x d x}=\frac{x^{2}}{2}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Das Integral wird zu

$$3 {\color{red}{\int{x \ln{\left(x \right)} d x}}}=3 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \int{\frac{x}{2} d x}\right)}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=\frac{1}{2}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:

$$\frac{3 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - 3 {\color{red}{\int{\frac{x}{2} d x}}} = \frac{3 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{2}\right)}}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ mit $$$n=1$$$ an:

$$\frac{3 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{x d x}}}}{2}=\frac{3 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{3 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

Daher,

$$\int{3 x \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{3 x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}$$

Vereinfachen:

$$\int{3 x \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{3 x^{2} \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{4}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{3 x \ln{\left(x \right)} d x} = \frac{3 x^{2} \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{4}+C$$

$$$\int 3 x \ln\left(x\right)\, dx = \frac{3 x^{2} \left(2 \ln\left(x\right) - 1\right)}{4} + C$$$A