Integral von $$$\frac{1}{\ln\left(n^{3}\right)}$$$

Bestimme $$$\int \frac{1}{3 \ln\left(n\right)}\, dn$$$.

Die Eingabe wird umgeschrieben: $$$\int{\frac{1}{\ln{\left(n^{3} \right)}} d n}=\int{\frac{1}{3 \ln{\left(n \right)}} d n}$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(n \right)}\, dn = c \int f{\left(n \right)}\, dn$$$ mit $$$c=\frac{1}{3}$$$ und $$$f{\left(n \right)} = \frac{1}{\ln{\left(n \right)}}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{3 \ln{\left(n \right)}} d n}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\ln{\left(n \right)}} d n}}{3}\right)}}$$

Dieses Integral (Logarithmisches Integral) besitzt keine geschlossene Form:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(n \right)}} d n}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\operatorname{li}{\left(n \right)}}}}{3}$$

Daher,

$$\int{\frac{1}{3 \ln{\left(n \right)}} d n} = \frac{\operatorname{li}{\left(n \right)}}{3}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{1}{3 \ln{\left(n \right)}} d n} = \frac{\operatorname{li}{\left(n \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{1}{3 \ln\left(n\right)}\, dn = \frac{\operatorname{li}{\left(n \right)}}{3} + C$$$A