Integral von $$$2^{x} x$$$

Bestimme $$$\int 2^{x} x\, dx$$$.

Für das Integral $$$\int{2^{x} x d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=x$$$ und $$$\operatorname{dv}=2^{x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{2^{x} d x}=\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Das Integral wird zu

$${\color{red}{\int{2^{x} x d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}}-\int{\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{2^{x} x}{\ln{\left(2 \right)}} - \int{\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} d x}\right)}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=\frac{1}{\ln{\left(2 \right)}}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = 2^{x}$$$ an:

$$\frac{2^{x} x}{\ln{\left(2 \right)}} - {\color{red}{\int{\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}} d x}}} = \frac{2^{x} x}{\ln{\left(2 \right)}} - {\color{red}{\frac{\int{2^{x} d x}}{\ln{\left(2 \right)}}}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{x} d x} = \frac{a^{x}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=2$$$:

$$\frac{2^{x} x}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{{\color{red}{\int{2^{x} d x}}}}{\ln{\left(2 \right)}} = \frac{2^{x} x}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{{\color{red}{\frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}}}}}{\ln{\left(2 \right)}}$$

Daher,

$$\int{2^{x} x d x} = \frac{2^{x} x}{\ln{\left(2 \right)}} - \frac{2^{x}}{\ln{\left(2 \right)}^{2}}$$

Vereinfachen:

$$\int{2^{x} x d x} = \frac{2^{x} \left(x \ln{\left(2 \right)} - 1\right)}{\ln{\left(2 \right)}^{2}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{2^{x} x d x} = \frac{2^{x} \left(x \ln{\left(2 \right)} - 1\right)}{\ln{\left(2 \right)}^{2}}+C$$

$$$\int 2^{x} x\, dx = \frac{2^{x} \left(x \ln\left(2\right) - 1\right)}{\ln^{2}\left(2\right)} + C$$$A