Integral von $$$x^{3} e^{x}$$$

Bestimme $$$\int x^{3} e^{x}\, dx$$$.

Für das Integral $$$\int{x^{3} e^{x} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=x^{3}$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx=3 x^{2} dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{3} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 3 x^{2} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x^{3} e^{x} - \int{3 x^{2} e^{x} d x}\right)}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=3$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{x}$$$ an:

$$x^{3} e^{x} - {\color{red}{\int{3 x^{2} e^{x} d x}}} = x^{3} e^{x} - {\color{red}{\left(3 \int{x^{2} e^{x} d x}\right)}}$$

Für das Integral $$$\int{x^{2} e^{x} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Also,

$$x^{3} e^{x} - 3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{x} d x}}}=x^{3} e^{x} - 3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 x d x}\right)}}=x^{3} e^{x} - 3 {\color{red}{\left(x^{2} e^{x} - \int{2 x e^{x} d x}\right)}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=2$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x e^{x}$$$ an:

$$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 3 {\color{red}{\int{2 x e^{x} d x}}} = x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 3 {\color{red}{\left(2 \int{x e^{x} d x}\right)}}$$

Für das Integral $$$\int{x e^{x} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=x$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Daher,

$$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 {\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}=x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 {\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}=x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 {\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 {\color{red}{e^{x}}}$$

Daher,

$$\int{x^{3} e^{x} d x} = x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}$$

Vereinfachen:

$$\int{x^{3} e^{x} d x} = \left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{x^{3} e^{x} d x} = \left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}+C$$

$$$\int x^{3} e^{x}\, dx = \left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x} + C$$$A