Integral von $$$\sec^{4}{\left(x \right)}$$$

Bestimme $$$\int \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Ziehen Sie zwei Sekansfaktoren heraus und drücken Sie alles andere in Abhängigkeit vom Tangens aus, mithilfe der Formel $$$\sec^2\left( \alpha \right)=\tan^2\left( \alpha \right) + 1$$$ mit $$$\alpha=x$$$:

$${\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}}$$

Sei $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$.

Dann $$$du=\left(\tan{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$\sec^{2}{\left(x \right)} dx = du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}}$$

Gliedweise integrieren:

$${\color{red}{\int{\left(u^{2} + 1\right)d u}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{u^{2} d u}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, du = c u$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$\int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{u^{2} d u} + {\color{red}{u}}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ mit $$$n=2$$$ an:

$$u + {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=u + {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=u + {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} + \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = {\color{red}{\tan{\left(x \right)}}} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}^{3}}{3}$$

Daher,

$$\int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x} = \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\sec^{4}{\left(x \right)} d x} = \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \sec^{4}{\left(x \right)}\, dx = \left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}\right) + C$$$A