Integral von $$$\ln\left(y\right)$$$

Bestimme $$$\int \ln\left(y\right)\, dy$$$.

Für das Integral $$$\int{\ln{\left(y \right)} d y}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=\ln{\left(y \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=dy$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy=\frac{dy}{y}$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{1 d y}=y$$$ (Rechenschritte siehe »).

Also,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(y \right)} d y}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(y \right)} \cdot y-\int{y \cdot \frac{1}{y} d y}\right)}}={\color{red}{\left(y \ln{\left(y \right)} - \int{1 d y}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, dy = c y$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$y \ln{\left(y \right)} - {\color{red}{\int{1 d y}}} = y \ln{\left(y \right)} - {\color{red}{y}}$$

Daher,

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \ln{\left(y \right)} - y$$

Vereinfachen:

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \left(\ln{\left(y \right)} - 1\right)$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\ln{\left(y \right)} d y} = y \left(\ln{\left(y \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(y\right)\, dy = y \left(\ln\left(y\right) - 1\right) + C$$$A