Integral von $$$\ln\left(x_{0}\right)$$$

Bestimme $$$\int \ln\left(x_{0}\right)\, dx_{0}$$$.

Für das Integral $$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x_{0} \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=dx_{0}$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x_{0} \right)}\right)^{\prime }dx_{0}=\frac{dx_{0}}{x_{0}}$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{1 d x_{0}}=x_{0}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Das Integral wird zu

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x_{0} \right)} \cdot x_{0}-\int{x_{0} \cdot \frac{1}{x_{0}} d x_{0}}\right)}}={\color{red}{\left(x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - \int{1 d x_{0}}\right)}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, dx_{0} = c x_{0}$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - {\color{red}{\int{1 d x_{0}}}} = x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - {\color{red}{x_{0}}}$$

Daher,

$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}} = x_{0} \ln{\left(x_{0} \right)} - x_{0}$$

Vereinfachen:

$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}} = x_{0} \left(\ln{\left(x_{0} \right)} - 1\right)$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\ln{\left(x_{0} \right)} d x_{0}} = x_{0} \left(\ln{\left(x_{0} \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(x_{0}\right)\, dx_{0} = x_{0} \left(\ln\left(x_{0}\right) - 1\right) + C$$$A