Integral von $$$\frac{\ln\left(x^{4}\right)}{x}$$$

Bestimme $$$\int \frac{\ln\left(x^{4}\right)}{x}\, dx$$$.

Die Eingabe wird umgeschrieben: $$$\int{\frac{\ln{\left(x^{4} \right)}}{x} d x}=\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=4$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \frac{\ln{\left(x \right)}}{x}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}$$

Sei $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$.

Dann $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$\frac{dx}{x} = du$$$.

Somit,

$$4 {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{x} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{u d u}}}$$

Wenden Sie die Potenzregel $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ mit $$$n=1$$$ an:

$$4 {\color{red}{\int{u d u}}}=4 {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=4 {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{u}}^{2} = 2 {\color{red}{\ln{\left(x \right)}}}^{2}$$

Daher,

$$\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x} d x} = 2 \ln{\left(x \right)}^{2}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{x} d x} = 2 \ln{\left(x \right)}^{2}+C$$

$$$\int \frac{\ln\left(x^{4}\right)}{x}\, dx = 2 \ln^{2}\left(x\right) + C$$$A