Integral von $$$\ln\left(6 x\right)$$$

Bestimme $$$\int \ln\left(6 x\right)\, dx$$$.

Sei $$$u=6 x$$$.

Dann $$$du=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = \frac{du}{6}$$$.

Also,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(6 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{6} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{6}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{6} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{6}\right)}}$$

Für das Integral $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$.

Seien $$$\operatorname{m}=\ln{\left(u \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=du$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{dm}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (Rechenschritte siehe »).

Also,

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{6}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{6}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{6}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, du = c u$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}}{6} - \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{6} = \frac{u \ln{\left(u \right)}}{6} - \frac{{\color{red}{u}}}{6}$$

Zur Erinnerung: $$$u=6 x$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}}{6} + \frac{{\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{6} = - \frac{{\color{red}{\left(6 x\right)}}}{6} + \frac{{\color{red}{\left(6 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(6 x\right)}} \right)}}{6}$$

Daher,

$$\int{\ln{\left(6 x \right)} d x} = x \ln{\left(6 x \right)} - x$$

Vereinfachen:

$$\int{\ln{\left(6 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(6 \right)}\right)$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\ln{\left(6 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + \ln{\left(6 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(6 x\right)\, dx = x \left(\ln\left(x\right) - 1 + \ln\left(6\right)\right) + C$$$A