Integral von $$$e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}$$$

Bestimme $$$\int e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Wende die Potenzreduktionsformel $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ mit $$$\alpha=x$$$ an:

$${\color{red}{\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}}{2} d x}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=\frac{1}{2}$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x} d x}}{2}\right)}}$$

Expand the expression:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right) e^{x} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + e^{x}\right)d x}}}}{2}$$

Gliedweise integrieren:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + e^{x}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} + \int{e^{x} d x}\right)}}}{2}$$

Für das Integral $$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 x \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=- 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Somit,

$$\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2}=\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) d x}\right)}}}{2}=\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(e^{x} \cos{\left(2 x \right)} - \int{\left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}\right)}}}{2}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=-2$$$ und $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$$$ an:

$$\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\left(- 2 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- 2 \int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

Für das Integral $$$\int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 x \right)}$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=2 \cos{\left(2 x \right)} dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Also,

$$\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + {\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(2 x \right)} d x}}}=\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + {\color{red}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 2 \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}=\frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + {\color{red}{\left(e^{x} \sin{\left(2 x \right)} - \int{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=2$$$ und $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$$$ an:

$$e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - {\color{red}{\int{2 e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} - {\color{red}{\left(2 \int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Wir sind bei einem Integral angelangt, das wir bereits gesehen haben.

Somit haben wir die folgende einfache Gleichung für das Integral erhalten:

$$\frac{\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}{2} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2} = e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + \frac{e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{2} - 2 \int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} + \frac{\int{e^{x} d x}}{2}$$

Lösen wir es, erhalten wir, dass

$$\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}$$

Also,

$$\frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\int{e^{x} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{5}\right)}}}{2}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{10} + \frac{{\color{red}{\int{e^{x} d x}}}}{2} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{10} + \frac{{\color{red}{e^{x}}}}{2}$$

Daher,

$$\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}}{10} + \frac{e^{x}}{2}$$

Vereinfachen:

$$\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 5\right) e^{x}}{10}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 5\right) e^{x}}{10}+C$$

$$$\int e^{x} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = \frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 5\right) e^{x}}{10} + C$$$A