Integral von $$$\left(x - 1\right) e^{x}$$$

Bestimme $$$\int \left(x - 1\right) e^{x}\, dx$$$.

Für das Integral $$$\int{\left(x - 1\right) e^{x} d x}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Seien $$$\operatorname{u}=x - 1$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{du}=\left(x - 1\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Somit,

$${\color{red}{\int{\left(x - 1\right) e^{x} d x}}}={\color{red}{\left(\left(x - 1\right) \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(\left(x - 1\right) e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$\left(x - 1\right) e^{x} - {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = \left(x - 1\right) e^{x} - {\color{red}{e^{x}}}$$

Daher,

$$\int{\left(x - 1\right) e^{x} d x} = \left(x - 1\right) e^{x} - e^{x}$$

Vereinfachen:

$$\int{\left(x - 1\right) e^{x} d x} = \left(x - 2\right) e^{x}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\left(x - 1\right) e^{x} d x} = \left(x - 2\right) e^{x}+C$$

$$$\int \left(x - 1\right) e^{x}\, dx = \left(x - 2\right) e^{x} + C$$$A