Integral von $$$e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$$

Bestimme $$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx$$$.

Sei $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$.

Dann $$$du=\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \sqrt{2} du$$$.

Also,

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}$$

Für das Integral $$$\int{u e^{u} d u}$$$ verwenden Sie die partielle Integration $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$.

Seien $$$\operatorname{g}=u$$$ und $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Dann gilt $$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (Rechenschritte siehe ») und $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (Rechenschritte siehe »).

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}={\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}={\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$u e^{u} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = u e^{u} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} + {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}} + {\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}}$$

Daher,

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{x} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

Vereinfachen:

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} + C$$$A