Integral von $$$\frac{e^{- y}}{y}$$$

Bestimme $$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$.

Sei $$$u=- y$$$.

Dann $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dy = - du$$$.

Also,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

Dieses Integral (Exponentialintegral) besitzt keine geschlossene Form:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- y$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

Daher,

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A