Integral von $$$e^{- x \left(a - b\right)}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx$$$.

Sei $$$u=- x \left(a - b\right)$$$.

Dann $$$du=\left(- x \left(a - b\right)\right)^{\prime }dx = - (a - b) dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - \frac{du}{a - b}$$$.

Daher,

$${\color{red}{\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{- a + b}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a + b}}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a + b} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a + b}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- x \left(a - b\right)$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a + b} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- x \left(a - b\right)\right)}}}}{- a + b}$$

Daher,

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{- x \left(a - b\right)}}{- a + b}$$

Vereinfachen:

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = - \frac{e^{- x \left(a - b\right)}}{a - b}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = - \frac{e^{- x \left(a - b\right)}}{a - b}+C$$

$$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx = - \frac{e^{- x \left(a - b\right)}}{a - b} + C$$$A