Integral von $$$e^{- p^{2} - q^{2}}$$$ nach $$$p$$$

Bestimme $$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp$$$.

Schreiben Sie den Integranden um:

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p}}} = {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(p \right)}\, dp = c \int f{\left(p \right)}\, dp$$$ mit $$$c=e^{- q^{2}}$$$ und $$$f{\left(p \right)} = e^{- p^{2}}$$$ an:

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}} = {\color{red}{e^{- q^{2}} \int{e^{- p^{2}} d p}}}$$

Dieses Integral (Fehlerfunktion) besitzt keine geschlossene Form:

$$e^{- q^{2}} {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} d p}}} = e^{- q^{2}} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}\right)}}$$

Daher,

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2} + C$$$A