Integral von $$$e^{\frac{y}{x}}$$$ nach $$$y$$$

Bestimme $$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$.

Sei $$$u=\frac{y}{x}$$$.

Dann $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dy = x du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=x$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\frac{y}{x}$$$:

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

Daher,

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A