Integral von $$$e^{\frac{u}{v}}$$$ nach $$$u$$$

Bestimme $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

Sei $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Dann $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$du = v dw$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ mit $$$c=v$$$ und $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$ an:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

Zur Erinnerung: $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Daher,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A