Integral von $$$e^{2 t}$$$

Bestimme $$$\int e^{2 t}\, dt$$$.

Sei $$$u=2 t$$$.

Dann $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dt = \frac{du}{2}$$$.

Somit,

$${\color{red}{\int{e^{2 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{2}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Zur Erinnerung: $$$u=2 t$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = \frac{e^{{\color{red}{\left(2 t\right)}}}}{2}$$

Daher,

$$\int{e^{2 t} d t} = \frac{e^{2 t}}{2}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{2 t} d t} = \frac{e^{2 t}}{2}+C$$

$$$\int e^{2 t}\, dt = \frac{e^{2 t}}{2} + C$$$A