Integral von $$$e^{- \frac{x}{10}}$$$

Bestimme $$$\int e^{- \frac{x}{10}}\, dx$$$.

Sei $$$u=- \frac{x}{10}$$$.

Dann $$$du=\left(- \frac{x}{10}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{10}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = - 10 du$$$.

Daher,

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{10}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 10 e^{u}\right)d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=-10$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\left(- 10 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 10 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 10 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 10 {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=- \frac{x}{10}$$$:

$$- 10 e^{{\color{red}{u}}} = - 10 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{10}\right)}}}$$

Daher,

$$\int{e^{- \frac{x}{10}} d x} = - 10 e^{- \frac{x}{10}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{- \frac{x}{10}} d x} = - 10 e^{- \frac{x}{10}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{10}}\, dx = - 10 e^{- \frac{x}{10}} + C$$$A