Integral von $$$\cos{\left(\frac{u}{v} \right)}$$$ nach $$$u$$$

Bestimme $$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du$$$.

Sei $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Dann $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$du = v dw$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ mit $$$c=v$$$ und $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$ an:

$${\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}} = {\color{red}{v \int{\cos{\left(w \right)} d w}}}$$

Das Integral des Kosinus ist $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$v {\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}} = v {\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}$$

Zur Erinnerung: $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v \sin{\left({\color{red}{w}} \right)} = v \sin{\left({\color{red}{\frac{u}{v}}} \right)}$$

Daher,

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)} + C$$$A