Integral von $$$\frac{3}{3 x - 1}$$$

Bestimme $$$\int \frac{3}{3 x - 1}\, dx$$$.

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ mit $$$c=3$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x - 1}$$$ an:

$${\color{red}{\int{\frac{3}{3 x - 1} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{3 x - 1} d x}\right)}}$$

Sei $$$u=3 x - 1$$$.

Dann $$$du=\left(3 x - 1\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = \frac{du}{3}$$$.

Also,

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 x - 1} d x}}} = 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=\frac{1}{3}$$$ und $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ an:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}$$

Das Integral von $$$\frac{1}{u}$$$ ist $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=3 x - 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x - 1\right)}}}\right| \right)}$$

Daher,

$$\int{\frac{3}{3 x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{3 x - 1}\right| \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{3}{3 x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{3 x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{3}{3 x - 1}\, dx = \ln\left(\left|{3 x - 1}\right|\right) + C$$$A