Integral von $$$\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int \frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}\, dx$$$.

Sei $$$x=\sqrt{a} \sin{\left(u \right)}$$$.

Dann $$$dx=\left(\sqrt{a} \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sqrt{a} \cos{\left(u \right)} du$$$ (die Schritte sind » zu sehen).

Somit folgt, dass $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$$.

Also,

$$$\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{- a \sin^{2}{\left( u \right)} + a}}$$$

Verwenden Sie die Identität $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$:

$$$\frac{1}{\sqrt{- a \sin^{2}{\left( u \right)} + a}}=\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Setzen wir $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ voraus, so erhalten wir Folgendes:

$$$\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sqrt{a} \cos{\left( u \right)}}$$$

Das Integral kann umgeschrieben werden als

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Wenden Sie die Konstantenregel $$$\int c\, du = c u$$$ mit $$$c=1$$$ an:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}}}$$

Daher,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)} + C$$$A