Integral von $$$\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}$$$

Bestimme $$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Schreibe den Kosinus mithilfe der Doppelwinkel-Formel $$$\cos\left(x\right)=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$$ um und vereinfache.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Sei $$$u=\frac{x}{2}$$$.

Dann $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = 2 du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Schreiben Sie den Integranden in Bezug auf die Kosekans um.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

Das Integral von $$$\csc^{2}{\left(u \right)}$$$ ist $$$\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u} = - \cot{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\csc^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(- \cot{\left(u \right)}\right)}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}$$

Daher,

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x} = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{\frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}} d x} = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\, dx = - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + C$$$A