Integral von $$$e^{\frac{x}{c}}$$$ nach $$$x$$$

Bestimme $$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$.

Sei $$$u=\frac{x}{c}$$$.

Dann $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (die Schritte sind » zu sehen), und es gilt $$$dx = c du$$$.

Das Integral lässt sich umschreiben als

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ mit $$$c=c$$$ und $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ an:

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

Das Integral der Exponentialfunktion lautet $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

Zur Erinnerung: $$$u=\frac{x}{c}$$$:

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

Daher,

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

Fügen Sie die Integrationskonstante hinzu:

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A